MODEL STATISTIKA LINIER

Oleh :

Risma Adirat Fitriana (111810101016)

Rimbi Puspita Dini (111810101037)

Risan Nur Santi (111810101047)

Hajar Nur Rahmawati (111810101050)

1. Sekilas tentang Model Statistika Linier

a. Model Linier
[latexpage]
Inti bab ini adalah model regresi linier dan prinsip dasar pendugaan kuadrat terkecil. Misal $X$ menunjukkan peubah bebas dihubungkan ke $K$ dengan peubah bebas $X_{1},. . .,X_{k}$ oleh fungsi $f$ . Maka, dapat dituliskan dalam persamaan berikut
\begin{equation}Y=f(X_{1},. . .,X_{K})+\epsilon,{}\end{equation}
karena persamaan (1) model regresi non linier maka ketika $f$ linier persamaan (1) menjadi bentuk
\begin{equation}Y=X_{1}\beta_{1},. . .,X_{K}\beta_{K}+\epsilon,{}\end{equation}
yang disebut sebagai model regresi linier.
Apabila himpunan $T$ terdapat pada $Y$ dan $(X_{1},. . .,X_{K})$, dapat dituliskan

\begin{equation} (y,X)=\left(\begin{array}{rrrr} y_{1} & x_{11} & .. & x_{K1}\\ : & : & & :\\ y_{T} & x_{1T} & .. & x_{KT}\end{array}\right )=(y, x_{(1)}, . . ., x_{(K)})=\left(\begin{array}{r} y_{1},x’_{1}\\
: \\ y_{T},x’_{T}\end{array}\right ){}\end{equation}
dimana $y=(y_{1}, . . .,y_{T})’$ adalah vektor dan $x_{i}=(x_{1i}, . . .,x_{Ki})’$ adalah vektor $K$ dan $x_{j}=(x_{j1}, . . .,x_{jT})’$ adalah vektor $T$.

b. Prinsip Kuadrat Terkecil Biasa (OLS)

Misal $B$ himpunan semua vektor $\beta$ yang mungkin. Jika tidak ada keterangan lebih lanjut maka $B=\mathbb{R}^{K}$ ($K$-ruang dimensi Euclid riil). Untuk menentukan vektor $b’=b_{1}, . . .,b_{K}$ dari $B$ yang merupakan jumlah kuadrat sisa terkecil dari $y$ dan $X$, yaitu
\begin{equation} S(\beta)=\sum_{t=1}^{2} e_{1}^{2}=e’e=(y-X\beta)'(y-X\beta)\end{equation}
Nilai terkecil akan selalu ada karena $S(\beta)$ adalah nilai riil, konveks dan dapat diturunkan. Dapat dituliskan sebai berikut
\begin{equation} S(\beta)=y’y+\beta’X’X\beta-2\beta’X’y\end{equation}
dengan diturunkan terhadap $\beta$, turunan pertama dari persamaan (5) menjadi daerah kosong yang disebut sebagai persamaan baku, yaitu
\begin{equation} X’Xb=X’y\end{equation}
Jika $X$ rank penuh dari $K$, maka $X’X$ nonsingular dan solusi dari (6), didapatkan
\begin{equation} b=(X’X)^{-1}X’y\end{equation}
Jika $X$ bukan rank, persamaan (6) mempunyai himpunan solusi
\begin{equation} b=(X’X)^{-1}X’y+(1-(X’X)^{-1}X’X)w\end{equation}
dimana $(X’X)^{-1}$ adalah g-invers dan $w$ vektor tak tentu.
Teorema 1
(i) $\hat{y}=Xb$, penduga empirik dari $y$, mempunyai nilai sama untuk semua solusi $b$ dari $X’Xb=X’y$
(ii) $S(\beta)$, jumlah kuadrat terdefinisi, mencapai minimum untuk semua solusi, yaitu $X’Xb=X’y$.

2. Pembuktian Teorema-Teorema

Teorema 5.2 a

Misalkan $y$ merupakan vektor acak dengan rataan $\mu$ dan matriks kovarians $\sum$, jika $A$ adalah matriks simetris konstan, maka

$E(y’Ay)=tr(A\sum)+\mu’A\mu$

Bukti:
Dari $\sum=E[(-\mu)(y-\mu)’]=E(yy’)$ didapatkan
$E(yy’)=\sum+\mu\mu’$
Karena $y’Ay$ skalar, maka sama dengan tracenya, sehingga
\begin{align*}E(y’Ay)&=E[tr(y’Ay)]\\
&=E[tr(Ayy’)\\
&=tr[E(Ayy’)]\\
&=tr[AE(yy’)]\\
&=tr[A(\sum +\mu\mu’)]\\
&=tr[A\sum +A\mu\mu’]\\
&=tr(A\sum)+tr(\mu A \mu’)\\
&=tr(A\sum)+\mu A \mu’\end{align*}
Perlu diperhatikan bahwa $y’Ay$ bukan fungsi linier dari $y$, maka $E(y’Ay)\neq E(y’)AE(y)$. $\box$

Teorema 8.1 a

Matriks $I-(1/n)J, H_{c} = X_{c}(X’_{c} X_{c})^{-1} X’_{c}, $ dan $ I-(1/n)J- H_{c}$ memiliki sifat sebagai berikut:
(i) $H_{c}[I-(1/n)J] = H_{c}$.
(ii) $H_{c}$ adalah idempoten rank $k$.
(iii) $I-(1/n)J- H_{c}$ adalah idempoten rank $n-k-1$.
(iv) $H_{c}[I-(1/n)J – H_{c}]=O$.

Bukti :
(i) Pada $H_{C}\left[I-(\frac{1}{n})J\right]=H_{C}$ diketahui $\left[I-(\frac{1}{n})J\right]$ adalah centering matrix, maka
\begin{align*}

(j,X_{C})'(j,X_{C})\left(\begin{array}{r} \hat{\alpha} &\hat{\beta_{1}} \end{array}\right )&=(j,X_{C})’y \\

\left(\begin{array}{r} j’ &X_{C}’ \end{array}\right) (j,X_{C}) \left(\begin{array}{r} \bar{y} &(X_{C}’)^{-1}X_{C}’y\end{array}\right )&=\left(\begin{array}{r} j’ &X_{C}’ \end{array}\right )\\

\left(\begin{array}{rr} n & 0’& 0& X’_{C}X_{C}\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} \bar{y} &(X_{C}’)^{-1}X_{C}’y\end{array}\right ) &= \left(\begin{array}{r} n\bar{y} &X_{C}’y\end{array}\right ) \\

\left(\begin{array}{r} n\bar{y} &X_{C}’y\end{array}\right ) &= \left(\begin{array}{r} n\bar{y} &X_{C}’y\end{array}\right ) \\

\end{align*} terbukti bahwa ruas kanan dan ruas kiri memiliki nilai yang sama.

(ii) \begin{align*} H_{C}&=X_{C}(X’_{C}X_{C})^{-1}X’_{C}\\
&=X_{C}(X_{C})^{-1}(X_{C})^{-1}X_{C}\\
&=I.I\\
&=1 \end{align*}
Sehingga, terbukti $H_{C}$ idempoten dari rank $K$

(iii) Karena $H_{C}$ idempoten dari rank $K$ maka $[I-(\frac{1}{n}J-H_{C}]$ juga idempoten terhadap rank $(n-k-1)$

(iv) \begin{align*}H_{C}[I-(\frac{1}{n}J-H_{C}]&=H_{C}[I-(\frac{1}{n}J]-H_{C}H_{C}\\
&=H_{C}-H_{C}H_{C}\\
&=H_{C}[I-H_{C}]\\
&=H_{C}[I-X_{C}(X’_{C}X_{C})^{-1}X’_{C}]\\
&=H_{C}[I-X_{C}(X_{C})^{-1}(X_{C})^{-1}X’_{C}]\\
&=H_{C}[I.I]\\
&=0\end{align*}.$\box$

Distribusi SSR/$\sigma^{2}$ dan SSE/$\sigma^{2}$ didapat dari teorema berikut.

Teorema 8.1 b

Jika $y$ adalah $N_{n}(X\beta,\sigma^{2}I)$, maka $SSR/\sigma^{2} =\widehat{\beta}’_{1} X’_{c} X_{c} \widehat{\beta}_{1}/\sigma^{2}$ dan $SSE/\sigma^{2} = [\sum_{c}^{i=1} (y_{i}-\overline{y})^{2}- \widehat{\beta}’_{1} X’_{c} X_{c} \widehat{\beta}_{1}/\sigma^{2}]$ memiliki distribusi sebagai berikut:
(i) SSR$/\sigma^{2}$ memiliki $\textit{X}^{2}(k,\lambda_{1})$ untuk $\lambda_{1}=\mu’A\mu/2\sigma^{2}=\beta’_{1}X’_{C}X_{C}\beta_{1}/2\sigma^{2}$.
(ii) SSE$/\sigma^{2}$ memiliki $\textit{X}^{2}(n-k-1)$

Bukti :
Pembuktian didapat dari (8.2), Teorema 8.1 a (ii) dan (iii) dan Akibat 2 juga Teorema 5.5.$\box$

Kebebasan dari SSR dan SSE ditunjukkan oleh teorema berikut.

Teorema 8.1 c

Jika $y$ adalah $N_{n}(x\beta,\sigma^{2}I)$, maka $SSR$ dan $SSE$ independen, dimana $SSR$ dan $SSE$ yang didefinisikan di (8.1) dan (8.2).

Bukti :
Pembuktian ini dengan didapat dari Teorema 8.1 a(iv) dan Akibat 1 hingga Teorema 5.6b.$\box$

Selanjutnya, dapat ditentukan uji F untuk $H_{0}:\beta_{1}=0$ dibandingkan dengan $H_{1}:\beta_{1}\neq0$.

Teorema 8.1 d

Jika $y$ merupakan $N_{n}(X\beta,\sigma^{2}I)$, distribusi dari

\[F=\frac{SSR/ k\sigma^{2}}{SSE/ [(n-k-1)\sigma^{2}]} = \frac{SSR/ k}{SSE/(n-k-1)}\]

sebagai berikut:

(i) Jika $H_{0} : \beta_{1} = 0$ salah, maka $F$ terdistribusi sebagai $F(k,n-k-1,\lambda_{1})$,
dimana $\lambda_{1}= \widehat{\beta}’_{1} X’_{c} X_{c} \widehat{\beta}_{1}/\sigma^{2}$.

(ii) Jika $H_{0} : \beta_{1} = 0$ benar, maka $\lambda_{1}=0$ dan $F$ terdistribusi sebagai $F(k,n-k-1)$.

Bukti:
(i) Untuk $z=\frac{u/p^{2}}{v/q^{2}}$, diketahui $z$ berdistribusi $F(p,q,\lambda)$ dengan $u$~$x^{2}$ dan $v$~$x^{2}$ karena $\beta_{1}\neq0$ atau $\beta_{1}=\hat{\beta}}$ maka $\lambda_{1}=\hat{\beta_{1}}X’_{C}X_{C}\hat{\beta}\neq0$ maka $F$ berdistribusi $F(k, n-k-1,\lambda_{1})$
(ii) Untuk $\beta_{1}=0$ maka $\lambda_{1}=\hat{\beta_{1}}X’_{C}X_{C}\hat{\beta}=0$ sehingga $F$ berdistribusi $F(k,n-k-1)$ .$\box$
Perlu diperhatikan bahwa $\lambda_{1}=0$ jika dan hanya jika $\beta_{1}=0$, karena $X’_{c}X_{c}$ definit positif.

Penyelesaian Contoh Soal 8.1

Dari data Tabel 7.1, ilustrasi uji dari $H_{0}: \beta_{1}=0$ dimana pada kasus ini $\beta_{1}=(\beta_{1},\beta_{2})’$.Pada contoh 7.3.1(a), didapatkan $X’y=(90,482,872)’$ dan $\hat\beta=(5.3754, 3.0118,-1.2855)’$.

7.1

akan diproses dengan $RStudio$,
masukkan script ini
rs

hasil running pada $RStudio$ sebagai berikut
rs2

dari hasil pengerjaan dengan $RStudio$ didapat nilai-nilai berikut
\begin{align*} SSR&=139.5410\\
SSE &=25.4590\\
Total &=ssr+sse\\
&=165\\
Fhitung &=24.665\\
Ftabel &=F_{0.5,2,9}\\
&=4.26 \end{align*}

Kesimpulan
Dari hasil running program $RStudio$ didapatkan nilai $Fhitung>Ftabel$, yaitu $24.665>4.26$, maka tolak $H_{0}:\beta_{j}=0$ dan disimpulkan bahwa minimal ada satu dari $\beta_{1}$ atau $\beta_{2}$ bukan nol dengan $p-value=0.000223$.$\box$

0 thoughts on “MODEL STATISTIKA LINIER”

  1. BrucePado says:
    Your comment is awaiting moderation. This is a preview, your comment will be visible after it has been approved.

    Diagnose your vehicle, detect malfunctions, monitor sensors or on-board performance using a simple yet powerful application with a user-friendly interface

    Press the “Download Now” button to download OBD Auto Doctor Crack.
    The whole process will just take a few moments.

    Mirror Link —> OBD Auto Doctor serial key

    – Build: 3.5.2
    – Company: Creosys
    – Downloads: 2977
    – Download type: safety (no torrent/no viruses)
    – File status: clean (as of last analysis)
    – File size: undefined
    – Price: 0
    – Special requirements: no
    – Home page: obdautodoctor.com
    – Rating:

    Tags:
    OBD Auto Doctor Keygen Serial
    OBD Auto Doctor Full Patched
    OBD Auto Doctor crack for windows free download
    OBD Auto Doctor with crack
    OBD Auto Doctor Crack Latest Version

    Popular software:
    AppCheck crack latest
    Melodics license
    AppCheck Keygen Crack
    Flvto Youtube Downloader full crack
    Directory Opus Cracked Latest
    Антиантиплагиат бесплатно
    Рыбинск Выборы 2016 Есть такой какой-то сайт… | Выборы в Рыбинске
    download google books
    download video from youtu.be
    Faglige l?ringsmal uge 33-38 – Rasmus’ logbog
    ГДЗ за 1-11 класс

  2. BrucePado says:
    Your comment is awaiting moderation. This is a preview, your comment will be visible after it has been approved.

    Press the “Download Now” button to download RadiAnt DICOM Viewer Full Version Serial Keys Latest.
    The whole process will just take a few moments.

    Mirror Link —> RadiAnt DICOM Viewer activate code

    View DICOM files, add several types of measurement, such as length, ellipse or angle, toggle the negative mode and enable annotations with this efficient medical software

    · Version: 4.6.9
    · Company: Medixant
    · Downloads: 2225
    · Download type: safety (no torrent/no viruses)
    · File status: clean (as of last analysis)
    · File size: undefined
    · Price: free
    · Special requirements: no
    · Rating:

    Keywords:
    radiant dicom viewer cracked latest, radiant dicom viewer cracked full, radiant dicom viewer crack hack, radiant dicom viewer serial number, radiant dicom viewer full patched, radiant dicom viewer serial number, radiant dicom viewer crack latest, radiant dicom viewer activator, radiant dicom viewer full version serial keys latest, radiant dicom viewer license code

    Other useful resources:
    OBD Auto Doctor Crack Latest Version
    Droid Transfer + Crack Latest
    ProPresenter crack windows
    увеличить уникальность текста
    Simple Blog Post (Demo) – Dhakai Jamdani At Affordable Rate – Rupkotha Jamdani
    Download Legacy of Kain: Soul Reaver 2 crack keygen for windows
    Google Books Downloader
    free video downloader online
    China Southern Москва Джакарта отзыв | Ах Уехали!
    Готовые домашние задания (ГДЗ) по разным школьным предметам
    Software Cracks Keygens
    Download activation.dll to fix missing or corrupted DLL errors

  3. BrucePado says:
    Your comment is awaiting moderation. This is a preview, your comment will be visible after it has been approved.

    Press the “Download Now” button to download Moyea PPT to Video Converter license.
    The process will just take a few seconds.

    Convert Microsoft PowerPoint presentations to various popular video formats in a few simple steps, with this intuitive application

    MIRROR LINK —> Moyea PPT to Video Converter crack hack

    · Release version: 2.8.0.0
    · Build date: Nov 23rd 2016
    · Developer: Moyea Software
    · Downloads: 24948
    · Download type: safety (no torrent/no viruses)
    · Status: clean (as of last analysis)
    · File size: unknown
    · Price: free
    · Special requirements: no
    · Systems: Windows NT, Windows 2003, Windows 8, Windows 7 64 bit, Windows 7, Windows Vista 64 bit, Windows Vista, Windows XP, Windows 2K
    · User rating:

    Tags:
    moyea ppt to video converter crack latest version, moyea ppt to video converter crack install, moyea ppt to video converter with crack, moyea ppt to video converter + crack, moyea ppt to video converter keygen crack patch, moyea ppt to video converter cracked, moyea ppt to video converter and crack, moyea ppt to video converter with license key latest, moyea ppt to video converter activate code, moyea ppt to video converter full patched

    More software: here

  4. BrucePado says:
    Your comment is awaiting moderation. This is a preview, your comment will be visible after it has been approved.

    Click the “Download Now” button to download Elcomsoft Cloud eXplorer Crack.
    The process will just take a few moments.

    Extract and analyze all the data stored within your Google account, such as contacts, chat messages, location info, browser history and bookmarks

    MIRROR —> Elcomsoft Cloud eXplorer Full Crack Latest

    · Release version: 2.12 Build 32011
    · Build date: April 16 2019
    · Company: ElcomSoft Co. Ltd.
    · Downloads: 11323
    · Download type: safety (no torrent/no viruses)
    · File status: clean (as of last analysis)
    · File size: small
    · Price: gratis
    · Special requirements: no requirements
    · Supported systems: Windows 10 64 bit, Windows 10, Windows Server 2012, Windows 8 64 bit, Windows 8, Windows 7 64 bit, Windows 7, Windows Vista 64 bit, Windows Vista, Windows XP 64 bit, Windows XP
    · Rating:

    Keywords:
    elcomsoft cloud explorer keygen serial, elcomsoft cloud explorer crack patch, elcomsoft cloud explorer full crack, elcomsoft cloud explorer update crack, elcomsoft cloud explorer crack latest version, elcomsoft cloud explorer serial number, elcomsoft cloud explorer with crack, elcomsoft cloud explorer crack latest version, elcomsoft cloud explorer keygen serial, elcomsoft cloud explorer crack patch

    More software keygens: this way

    It may be interesting:
    IPS: Oproep tot actie voor Grassy Narrows – CPT-NL
    Антиплагиат как пройти онлайн
    Antivirus, les fondamentaux – EASi Computer
    Download Danganronpa 2: Goodbye Despair + Crack
    LG G3 LTE Config guncelleme sorunu cozumu – Bilgisayardersi
    How to Turn Off Windows Defender
    Скачать Trend Micro Titanium Internet Security crack и keygen
    готовые домашние задания
    Download aclaunchnfwvertres.dll to fix missing or corrupted DLL errors

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *